Родился 25 декабря 1952 г. в Свердловске.

Доктор физико-математических наук (2000).

Окончил математико-механический факультет Уральского университета (1975).

Работал в Свердловском педагогическом институте: был старшим инженером-программистом, руководителем группы программистов Вычислительного центра (1978–1979); старшим преподавателем, доцентом (1979–1990), кафедры математического анализа, заведующим кафедрой (1992–1998); деканом математического факультета (1984–1987).

С 1998 по 2002 г. – доцент, профессор кафедры вычислительных методов и уравнений математической физики Уральского государственного технического университета – УПИ.

С 1998 г.– старший научный сотрудник, затем ведущий научный сотрудник, заведующий отделом уравнений математической физики Института математики и механики УрО РАН.

С 2002 г. – профессор кафедры математического анализа и теории функций Уральского университета. Читает общий курс «Функциональный анализ» и спецкурсы «Асимптотические методы», «Современные проблемы функционального анализа».

Ученик члена-корреспондента РАН В. К. Иванова, профессора В. П. Тананы, академика А. М. Ильина.

Тематика математических исследований А. Р. Данилина связана с некорректными задачами, теорией управления и асимптотическими разложениями сингулярно возмущенных задач оптимального управления.

Применяя метод согласования асимптотических разложений А. М. Ильина, А. Р. Данилин впервые построил полные асимптотические разложения решений важных классов бисингулярных задач теории оптимального управления, описываемые как системами обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнениями в частных производных.

Совместно с А. М. Ильиным показал отсутствие асимптотического разложения по рациональным функциям от малого параметра и логарифмов малого параметра у некоторых задач оптимального быстродействия, зависящих от малого параметра. В этих случаях была найдена полная асимптотика времени быстродействия, зависящая от малого параметра более сложным образом.

Опубликовал около 80 научных работ.