Родился 8 января 1932 г. в Ленинграде.

Доктор физико-математических наук (1988), профессор, член-корреспондент (1994), действительный член РАН (2000).

Окончил механико-математический факультет Московского университета (1954). В 1957 г. защитил кандидатскую диссертацию и с 1957 по 1963 г. работал в Московском университете.

Принадлежит к школе академика И. Г. Петровского. Непосредственным научным руководителем А. М. Ильина была О. А. Олейник.

С 1963 г. работает на Урале, где создал научную школу. 14 учеников А. М. Ильина защитили кандидатские диссертации, 10 представителей его школы (ученики и ученики его учеников) к 2010 г. стали докторами наук.

С 1994 г. работает заведующим отделом уравнений математической физики Института математики и механики УрО РАН, с 2002 г. – советник института. С 1994 г. также является профессором кафедры математического анализа и теории функций Уральского университета.

А. М. Ильин – известный специалист по теории дифференциальных уравнений и вычислительной математике. Главная тематика его работ в настоящее время – асимптотика решений краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными. Им разработан метод согласования асимптотических разложений решений сингулярно возмущенных задач, проведено строгое математическое обоснование асимптотики решений для многих задач.

Автор более 100 научных работ.

Председатель совета по защите докторских диссертаций в Институте математики и механики УрО РАН. Член редколлегий журналов «Успехи математических наук», «Журнал вычислительной математики и математической физики», «Asymptotic Analysis», «Известия Уральского государственного университета» (серия «Математика, механика, информатика»).

В 1995 г. А. М. Ильину и О. А. Олейник за цикл работ «Асимптотические методы в математической физике» была присуждена премия им. И. Г. Петровского Российской академии наук.

В 2001 г. А. М. Ильину совместно с М. В. Карасевым и В. С. Буслаевым была присуждена Государственная премия Российской Федерации за цикл работ «Асимптотические методы исследования уравнений математической физики».