Родилась 25 марта 1911 г. в с. Паданы Олонецкой губ.

Кандидат филологических наук (1942), доцент (1944).

Окончила Петрозаводский русский педагогический техникум в 1930 г. Проработав два года сельской учительницей, поступила на филологический факультет Ленинградского государственного университета, который окончила в 1937 г. Затем училась там же в аспирантуре по кафедре русского и славянских языков под руководством академика Н. С. Державина. В 1940 г. получила назначение в Свердловский педагогический институт. С 1944 г. работала по совместительству, а с 1961 по 1978 г. на штатной должности доцента кафедры русского языка и общего языкознания Уральского университета.

В 1942 г. защитила в Уральском университете кандидатскую диссертацию «Синтаксические функции краткой и полной формы адъективных слов в старославянском языке» при участии в качестве официальных оппонентов академика С. П. Обнорского и профессора А. П. Георгиевского. Александра Петровна прошла блестящую филологическую школу, владела карельским, польским, чешским, немецким, финским языками, что позволяло ей на высоком теоретическом уровне вести как общие лингвистические курсы, так и специальные. Она читала лекции по истории русского языка, старославянскому языку, введению в славяноведение, по сравнительной фонетике славянских языков; под ее руководством студенты-филологи изучали славянские языки и языки неиндоевропейской системы. Доцент А. П. Громова закладывала и развивала академическую основу преподавания и изучения русистики в Уральском университете. Своими знаниями она делилась с дипломниками и аспирантами, погружая их в проблемы изучения истории славянской культуры и выводя на научную стезю.

Перу А. П. Громовой принадлежит сравнительно немного научных работ, но все они посвящены основополагающим лингвистическим ценностям. Она писала о звуковом значении глаголической буквы «гервь», о так называемом третьем смягчении заднеязычных согласных в общеславянском языке, о твердости-мягкости согласных как фонологической категории, о трансформации просодических элементов общеславянского языка в фонетико-морфологической структуре русского языка, о синтаксических функциях краткой и полной формы причастий в старославянском языке, о паданском говоре карельского языка и т. п. Все работы А. П. Громовой отмечены печатью ее неординарной эрудиции и академизма, поэтому и в настоящее время весьма высоким остается индекс научного цитирования ее публикаций, особенно по сравнительной фонетике славянских языков.