Родился 12 мая 1940 г. в Екатеринбурге.

Доктор физико-математических наук (1987), профессор (1988).

Окончив в 1957 г. среднюю школу, поступил в Уральский университет, математико-механический факультет которого окончил в 1962 г. по специальности «Математика». В 1967 г. окончил очную аспирантуру по кафедре алгебры и геометрии Уральского университета, защитив кандидатскую диссертацию «Замкнутые подгруппы топологических групп».

С 1971 г. работал в Институте математики и механики УрО РАН в должности старшего, а затем ведущего научного сотрудника. В 1987 г. защитил докторскую диссертацию «Подгрупповые характеризации локально компактных групп». В 1988 г. Ю. Н. Мухину было присвоено звание профессора по кафедре алгебры и геометрии.

Известный специалист по топологической алгебре. Основные направления исследований – характеризации свойств локально компактных топологических групп (алгебр Ли) в терминах решетки, образованной их замкнутыми подгруппами (подалгебрами), структурная теория ряда классов локально компактных групп, выделенных условиями типа обобщенной коммутативности, конечности или дискретности. Автор более 150 работ (из которых около 30 вышли в центральной и зарубежной печати). Среди них обзор «Топологические группы» («Итоги науки и техники», 1982), ряд методических разработок и пособий для математических специальностей университетов и педуниверситетов, статья-эссе «Математика сама по себе» в популярной серии «Математика. Кибернетика» (1991).

Подготовил пять кандидатов физико-математических наук, из них один, А. Г. Гейн, стал доктором педагогических наук.

С 1962 г. преподает математические дисциплины в Уральском университете и других вузах Екатеринбурга. Активно сотрудничал с Областным институтом усовершенствования учителей. С 1993 по 2006 г. заведовал кафедрой геометрии Уральского государственного педагогического университета. Член двух диссертационных советов. Сотрудничает в российском и двух зарубежных реферативных журналах по математике.