Родилась 31 августа 1912 г. в Москве.

Доктор химических наук (1957), профессор (1959).

В 1935 г. окончила промышленный факультет Военной академии химзащиты (Москва) по специальности «Фототехнология» и была оставлена на кафедре для продолжения научной работы, начатой во время дипломирования. В 1936 г. поступила в аспирантуру в Физико-химический институт им. Л. Я. Карпова к академику В. А. Каргину. В 1940 г. защитила кандидатскую диссертацию и до июля 1941 г. работала в институте старшим научным сотрудником.

В годы Великой Отечественной войны работала в Свердловске на заводе № 734 (ныне Уральский завод резинотехнических изделий) – сначала инженером, затем техническим руководителем цеха, занималась изготовлением продукции для фронта.

В 1948 г. А. А. Тагер стала доцентом кафедры физической химии Уральского университета. Читала лекции по коллоидной химии для студентов-химиков и курс лекций по физической и коллоидной химии на биологическом факультете, организовала новую специализацию по химии высокомолекулярных соединений. Впервые разработала курсы лекций по физикохимии полимеров, по теории растворов неэлектролитов и курс лекций по физико-химическим основам технологии синтеза и переработки полимеров. Созданный ею учебник «Физикохимия полимеров» (1968–1978) выдержал по три издания на русском и иностранных языках, является одним из лучших учебников для студентов и аспирантов по этой дисциплине.

В 1958 г. А. А. Тагер впервые на Урале организовала кафедру химии высокомолекулярных соединений, которой заведовала в течение 30 лет. С 1986 по 1995 г. – профессор, а затем профессор-консультант этой кафедры.

Анна Александровна Тагер была блестящим лектором, читала по приглашениям лекции в Московском, Казанском, Саратовском, Таджикском, Ташкентском университетах, в ряде институтов Москвы, Ленинграда, Ташкента, Риги, на заводах Свердловска, в Софийском технологическом институте, в Институте макромолекулярной химии в Праге. Выступала с большими докладами на всесоюзных и международных конференциях.

А. А. Тагер принадлежит к научной школе академика В. А. Каргина, является известным в России и за рубежом ученым, основателем уральской научной школы полимерной химии. Созданное ею научное направление в области термодинамики концентрированных растворов, пластифицированных систем, смесей полимеров и наполненных полимерных композиций, полимерных сорбентов продолжают развивать ее ученики. Подготовила 36 кандидатов наук и двух докторов наук. Автор более 400 научных публикаций в отечественных и иностранных журналах, четырех монографий. Фундаментальные исследования А. А. Тагер всегда были тесно связаны с промышленностью.

Работы А. А. Тагер удостоены премии Уральского университета (1964).

Награждена медалями «За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941–1945 гг.», «За доблестный труд. В ознаменование 100-летия со дня рождения В. И. Ленина», знаком «За заслуги в области высшего образования».

Скончалась 7 ноября 1999 г. в Москве.