Родился 3 марта 1878 г. в семье известного учителя-краеведа О. Е. Клера, основателя Уральского общества любителей естествознания.

Доктор естественных наук (1904, диссертация на тему о гельминтофауне Урала), доктор биологических наук (1935).

Окончил Женевский университет (1901, Швейцария).

Служил хранителем естественно-исторического музея в Симферополе (1908), смотрителем рыбоводства в низовьях Дуная (1908–1915). Преподавал в средних учебных заведениях Екатеринбурга (1904–1908), Казанском университете (1915–1920), Уральском университете (1920–1925; профессор с 1922 г., заведующий кафедрой, кабинетом и лабораторией зоологии). С 1925 по 1930 г. – заведующий кафедрой зоологии и охотоведения лесопромышленного факультета Уральского политехнического института, в 1927–1930 гг. – организатор и руководитель Уральской областной охотопромышленной биостанции. С 1931 г. по 1951 г. – заведующий кафедрой гистологии Свердловского медицинского института.

Изучал гидробиологию лиманов Южной Бессарабии. Занимался искусственным разведением стерляди. За экспозицию, рассказывающую о рыболовстве и рыбоводстве на Дунае, награжден Большой золотой медалью Международной промышленной выставки (1911, Италия). Разработанный В. О. Клером метод определения возраста рыб по шлифам костей положен в основу современных методов определения возраста многих видов животных (имеет большое значение в судебной медицине). Выявленные им новые свойства древесного угля нашли применение в археологии и технологии углежжения.

С 1933 г. по 1953 г. занимался вопросами теоретической медицины. Изучал условия и закономерности восстановления внутренних органов человека. Высказал свое мнение об экстравазации эритроцитов, предложив отличать так называемую физиологическую экстравазацию от патологической.

Автор более 100 научных трудов. Некоторые из них переведены на иностранные языки.

По инициативе и проектам В. О. Клера организованы Свердловский зоопарк и два областных питомника пушных зверей.

Один из организаторов и популяризаторов туризма на Урале.

В 1945 г. награжден грамотой исполкома Свердловского областного Совета депутатов трудящихся как старейший краевед Урала.