Родилась 4 июля 1944 г. в Уфе.

Доктор физико-математических наук (1988), профессор (1991).

После окончания математико-механического факультета Уральского университета (1966) и аспирантуры под руководством члена-корреспондента АН В. К. Иванова с 1971 г. работает на кафедре математического анализа и теории функций Уральского университета.

Принадлежит к научной школе В. К. Иванова по некорректным задачам и обобщенным функциям. Научная тематика И. В. Мельниковой связана с широким кругом проблем функционального и стохастического анализа, теории дифференциальных уравнений и теории распределений. Она известный в России и за рубежом специалист по теории дифференциально-операторных уравнений, руководитель научного направления «Корректные и некорректные задачи для дифференциально-операторных уравнений». Это направление охватывает целый круг исследований, где наряду с изучением вопросов существования, единственности и устойчивости классических и обобщенных решений изучаются методы регуляризации некорректных задач и методы построения приближенных решений.

Автор более 120 научных работ, в том числе целого ряда монографий, опубликованных в ведущих отечественных и зарубежных изданиях.

Член организационных и программных комитетов, приглашенный докладчик многих международных конференций по теории полугрупп операторов, обобщенным функциям и некорректным задачам. В качестве приглашенного профессора читала курсы лекций и выступала с докладами в университетах США, Китая, Австралии.

И. В. Мельникова является руководителем грантов Российского фонда фундаментальных исследований и программ Рособразования; она активно привлекает к научной работе аспирантов и студентов. Подготовила шесть кандидатов наук и два PhD-доктора.

Научную работу профессор И. В. Мельникова успешно сочетает с преподавательской деятельностью; ею подготовлены и прочитаны обязательные курсы лекций по функциональному анализу, теории функций комплексного переменного, уравнениям математической физики и прикладным проблемам анализа, а также многочисленные спецкурсы, учитывающие актуальные требования, в том числе новые курсы по современным проблемам финансовой математики для студентов и магистрантов.

Удостоена первой премии Уральского университета за цикл работ «Абстрактная задача Коши. Три подхода» (2003).

Заслуженный деятель науки Российской Федерации (2003).