Родился 6 сентября 1920 г. в Москве.

Доктор физико-математических наук (1957), профессор (1959).

Окончил механико-математический факультет Московского университета (1944).

С 1949 г. работал в отделе конструктивной теории функций, а затем в отделе теории функций Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР (МИАН) в Москве. В середине 1950-х гг. у С. Б. Стечкина появилась идея создания нового академического института, в котором фундаментальные научные исследования проводились бы во взаимосвязи с прикладными исследованиями с использованием мощной вычислительной базы. Эту идею поддержал директор МИАН академик И. М. Виноградов.

В 1956 г. вышли распоряжения Совета министров СССР и Президиума АН СССР об организации Свердловского отделения Математического института им. В. А. Стеклова (СОМИ). С 1957 по 1967 г. С. Б. Стечкин был заместителем директора этого института. Создание СОМИ (с 28 мая 1970 г. – Институт математики и механики УрО РАН) он считал одним из главных дел своей жизни.

Одновременно с работой в СОМИ С. Б. Стечкин преподавал в Уральском университете (1957–1968). Читал лекции по математическому и функциональному анализу, по теории функций действительного переменного, ряд спецкурсов, вел научные семинары для студентов и аспирантов. Его лекции и семинары неизменно пользовались большим успехом. Работа С. Б. Стечкина в университете существенно повлияла на становление курса математического анализа на математико-механическом факультете.

В 1968 г. С. Б. Стечкин возвращается в Москву и берется за организацию нового журнала Академии наук СССР – «Математические заметки». Более двадцати лет он был его главным редактором. Журнал быстро завоевал авторитет и стал одним из основных математических журналов нашей страны.

С. Б. Стечкин имеет глубокие результаты по теории функций, некорректным задачам, геометрическим проблемам теории наилучших приближений в банаховых пространствах, теории чисел. Он обобщил прямые и обратные теоремы теории приближений на модули непрерывности произвольного порядка, продолжил исследования А. Н. Колмогорова по поперечникам и нашел точные порядки таких поперечников в равномерной метрике для классов функций с ограниченной старшей производной.

Большой цикл работ С. Б. Стечкина посвящен сходимости, абсолютной сходимости и суммируемости тригонометрических и более общих ортогональных рядов. В частности, им найден критерий абсолютной сходимости ряда из коэффициентов Фурье индивидуальной функции.

Вместе с Н. В. Ефимовым С. Б. Стечкин начал изучение геометрических задач теории наилучших приближений в банаховых пространствах, получил в этом направлении существенные результаты, ввел ряд важнейших характеристик, ныне хорошо известных специалистам. Так, при изучении вопросов устойчивости общих экстремальных задач важную роль играет понятие аппроксимативной компактности, а в теории некорректных задач широко используются пространства Ефимова – Стечкина.

Является создателем научной школы по теории наилучших приближений.

Впервые сформулировал экстремальную задачу о наилучшем приближении неограниченного оператора ограниченными на классах элементов и получил здесь первые существенные результаты. В настоящее время это направление интенсивно развивается. Был одним из инициаторов развития в нашей стране работ по приближению функций сплайнами и активно пропагандировал, поддерживал и развивал исследования в этой области.

С. Б. Стечкин часто называл себя «оценщиком». Эта грань его таланта наиболее ярко проявилась в исследованиях по теории чисел, в частности при оценивании сумм Гаусса и тригонометрических сумм, в проблеме расположения нулей дзета-функции Римана и др.

В последние годы он активно пропагандировал теорию всплесков и совместно с И. Я. Новиковым написал работу по этой тематике.

Тонкая интуиция, умение оценить перспективу исследований и поддержать их – характерная черта С. Б. Стечкина.

Опубликовал около 120 научных работ, в том числе две монографии.

С. Б. Стечкин уделял большое внимание воспитанию научной молодежи: среди его учеников около 30 кандидатов и 16 докторов наук.