Родился 7 декабря 1912 г. в с. Красном Костромского у. Костромской губ.

Доктор физико-математических наук (1971), профессор (1973).

В 1930 г. А. А. Меленцов поступил на первый курс физического факультета Тюменского агропедагогического института. В 1933 г. переехал в Свердловск и стал студентом второго курса физико-математического факультета Уральского университета. Одновременно начал преподавать математику на вечернем отделении рабфака университета. В 1937 г. окончил университет, в котором затем более 55 лет плодотворно занимался преподавательской деятельностью.

С января 1943 по сентябрь 1945 г. проходил службу в Вооруженных силах.

В послевоенные годы окончил аспирантуру по кафедре алгебры и геометрии Уральского университета под руководством профессора П. Г. Конторовича и успешно защитил в 1949 г. кандидатскую диссертацию «Разрезы в связных топологических группах». В то время научные интересы А. А. Меленцова были сосредоточены в области алгебры и топологии. В дальнейшем он успешно и результативно работал в топологии и теории суммирования расходящихся рядов. Плодотворным и взаимно полезным оказалось его сотрудничество со школой профессора Г. Ф. Кангро по теории суммирования Тартуского университета. В 1971 г. А. А. Меленцов защитил в Тбилисском университете докторскую диссертацию на тему «Топологические и алгебраические свойства бесконечных матриц», которая содержит результаты, лежащие на пересечении теории суммирования, теории функций комплексного переменного и топологии.

Дважды назначался заведующим кафедрой математического анализа (1953–1955, 1958–1962). В 1962 г. возглавил открывшуюся кафедру теории функций и руководил этой кафедрой более 25 лет.

Подготовил 12 кандидатов наук, многие из его учеников и последователей работают в различных городах России и СНГ.

За годы работы в Уральском университете А. А. Меленцов прочитал лекции практически по всем математическим дисциплинам, а также спецкурсы для студентов старших курсов по теоретико-множественной топологии, номографии, суммированию расходящихся рядов, теории приближения функций, теоремам о неподвижных точках, теории монотонных операторов, конформным отображениям и их приложениям.

С 1967 по 1976 г. был деканом факультета повышения квалификации преподавателей математики.

Награжден медалями «За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941–1945 гг.», «За трудовую доблесть», «За доблестный труд. В ознаменование 100-летия со дня рождения В. И. Ленина» и др. За заслуги в области высшего образования награжден знаком «За отличные успехи в работе» (1983). За заслуги в развитии математики в Тартуском университете награжден юбилейной медалью этого университета (1978). В 1996 г. А. А. Меленцову присвоено звание «Почетный профессор Уральского государственного университета».