Родился 7 сентября 1924 г. в Екатеринбурге.

Доктор физико-математических наук
(1957), профессор (1958), член-корреспондент (1964), действительный член АН СССР (1968), член Венгерской академии наук (1988).

Окончил металлургический факультет Уральского политехнического института (1949) и 10 лет проработал на кафедре высшей математики этого вуза сначала ассистентом (1949–1951), затем – доцентом (1954–1955) и профессором (1958–1959).

С 1958 г. Н. Н. Красовский стал работать в Уральском университете: заведующий кафедрой теоретической механики (1959–1960), вычислительной математики (1961–1963), прикладной математики (1965–1970), профессор кафедр прикладной математики (1971–1986) и теоретической механики (с 1986). Для студентов математико-механического факультета университета разработал и прочитал большое число специальных курсов, оригинальных по содержанию и включающих новейшие достижения, в том числе полученные им самим. Многие выпускники математико-механического факультета Уральского университета гордятся тем, что они учились у Н. Н. Красовского.

В 1970–1977 гг. – директор Института математики и механики Уральского научного центра АН СССР, член Президиума, затем советник Уральского отделения РАН.

Широта интересов Николая Николаевича проявилась еще в молодые годы под влиянием его учителей Е. А. Барбашина, Н. П. Еругина, И. Г. Малкина, Н. Г. Четаева. Он успешно продолжил научные традиции и научные исследования в области качественной теории дифференциальных уравнений и теории устойчивости, восходящие к А. М. Ляпунову.

Авторитет Н. Н. Красовского среди ученых очень высок. Основные результаты его исследований, признанные в стране и за рубежом, лежат в областях теории устойчивости движения (обращение теорем Ляпунова), в математической теории оптимального управления, в теории оптимальной стабилизации для систем с последействием, теории стохастической устойчивости и теории позиционных дифференциальных игр. Автор около 300 научных работ, в том числе семи монографий.

Н. Н. Красовский – основатель и глава широко известной уральской научной школы по математической теории оптимального управления и дифференциальным играм. Среди его учеников – инженеры и преподаватели, доктора и кандидаты наук, члены-корреспонденты и академики РАН.
Много времени и сил Николай Николаевич отдает пропаганде достижений фундаментальной науки среди ученых-прикладников, инженеров, медиков.

Н. Н. Красовский входил в состав Президиума РАН и бюро Отделения механики и процессов управления АН СССР.

Научные достижения и преподавательская деятельность Н. Н. Красовского высоко оценены государством (Герой Социалистического Труда, лауреат Ленинской, Государственной, Демидовской премий, премии «Триумф», кавалер орденов Трудового Красного Знамени, Ленина, Октябрьской Революции, «За заслуги перед Отечеством» III степени) и научной общественностью (Большая золотая медаль РАН им. М. В. Ломоносова, Золотая медаль им. А. М. Ляпунова, Золотая медаль Уральского отделения РАН им. С. В. Вонсовского, медаль общества «Знание» им. С. И. Вавилова). Но одной из самых значимых для себя премий Н. Н. Красовский считает ту, которую присудил ему в 2003 г. американский Институт инженеров электротехники и электроники. Это крупнейшее в мире профессионально-техническое объединение (более 380 тысяч членов примерно в 150 странах) является ведущим учреждением в самых различных областях – от авиакосмической и компьютерной техники до биомедицины и электроэнергетики. Н. Н. Красовский был отмечен мировым инженерным сообществом за пионерный вклад в теорию устойчивости, теорию управления и дифференциальных игр.

Почетный доктор Уральского государственного технического университета – УПИ (1994), почетный профессор Уральского государственного университета (1996). Почетный гражданин г. Свердловска (1987).