Родился 10 сентября 1939 г. в г. Моршанске Тамбовской обл.

Доктор физико-математических наук (1991), профессор (1993).

В 1961 г. окончил математико-механический факультет Уральского университета по специальности «Механика».

В 1961–1964 гг. работал в конструкторском бюро Машиностроительного завода им. М. И. Калинина. С 1964 г. работает в Институте математики и механики УрО РАН, с 1991 г. – в должности ведущего научного сотрудника.

А. Ф. Клейменов – ученик профессора С. Н. Шиманова. Начало научной деятельности связано с исследованиями в области теории колебаний и устойчивости движений, теории управляемых движений и их приложений. В этой сфере им был решен ряд задач анализа и синтеза нелинейных и самонастраивающихся регулируемых систем, установлены условия существования периодических решений систем с запаздыванием и исследована их устойчивость.

В последние годы А. Ф. Клейменов работает в области теории неантагонистических позиционных дифференциальных игр. Его исследования посвящены вопросам определения понятий решения, теоремам существования, получению необходимых и достаточных условий, алгоритмам приближенного вычисления, изучению новых постановок. Им развиты методы построения динамики в повторяющихся играх, основанные на принципе неухудшения результата, на взаимодействии локальных и глобальных критериев, на использовании введенных им различных типов поведения игроков. Совместно с С. И. Осиповым и Д. Р. Кувшиновым занимался разработкой и реализацией алгоритмов построения штакельберговских и нэшевских решений. Опубликовал более 100 научных работ, в том числе монографию.

На математико-механическом факультете Уральского университета А. Ф. Клейменов работает более 30 лет. За это время им подготовлены и прочитаны общие и специальные курсы по теории устойчивости и управлению в механических системах, по математической теории управления, теории многокритериальных и игровых задач. Руководит исследовательской работой студентов, магистрантов, аспирантов. Подготовил четырех кандидатов наук.

В 1996–2002 гг., а также с 2008 г. – вице-председатель Технического комитета по оптимальному управлению Международной федерации по автоматическому управлению (ИФАК).

В 2002–2008 гг. избирался председателем комитета. В этом качестве принимал участие в организации 15-го (Прага, 4–8 июля 2005) и 16-го (Сеул, 6–11 июля 2008) Всемирных конгрессов ИФАК, а также в организации нескольких международных конференций ИФАК в России и за рубежом.

Был членом международных программных комитетов ряда научных конференций.

Член редколлегий журнала «Труды Института математики и механики УрО РАН», а также журнала «Математическая теория игр и ее приложения».

Большой вклад А. Ф. Клейменов вносит в школьное математическое образование, активно участвуя в повышении квалификации учителей математики Свердловской области. Является автором ряда методических пособий для учителей по актуальным проблемам преподавания математики в школе.